THe eqUaTIoN THaT CoULDN'T Be SoLVeD
Copyright © 2005 by Mario Livio
Copyright © 2005 by Simon & Schuster
Xuất bản theo thỏa thuận với Simon & Schuster
Bản tiếng Việt © Nhà xuất bản Trẻ, 2013
BIỂU GHI BIÊN MỤC TRƯỚC XUẤT BẢN ĐƯỢC THỰC HIỆN BỞI THƯ VIỆN KHTH TP.HCM
General Sciences Library Cataloging-in-Publication Data

Livio, Mario, 1945Ngôn ngữ của đối xứng / Mario Livio ; Phạm Văn Thiều dịch. - T.P. Hồ Chí Minh : Trẻ,
2013.
422 tr. ; 20cm.
Nguyên bản : The equation that couldn't be solved.
1. Lý thuyết nhóm. 2. Lý thuyết Galois. 3. Hàm đối xứng -- Lịch sử. 4. Đối xứng (Toán
học) -- Lịch sử. 5. Phân tích Diophantus -- Lịch sử. I. Phạm Văn Thiều. II. Ts: The equation
that couldn't be solved.
512.209 -- dc 22
L788

Lời nói đầu

Ngay từ hồi còn học trung học tôi đã say mê Évariste Galois. Một
chàng trai 20 tuổi có thể phát minh ra cả một lĩnh vực toán học mới
mẻ, đầy hấp dẫn quả là một nguồn cảm hứng thực sự. Tuy nhiên,
vào những năm cuối đại học, chàng trai lãng mạn người Pháp này
lại là nguồn gốc khiến tôi thật sự thất vọng. Bạn cảm thấy như thế
nào khi bạn nhận ra mình đã ở tuổi 23 mà chẳng làm được điều gì
có tầm cỡ tương tự? Khái niệm nhóm mà Galois đưa ra, ngày nay
đã được thừa nhận là ngôn ngữ “chính thức” của đối xứng. Và, vì
đối xứng đã xuyên suốt nhiều lĩnh vực, từ nghệ thuật thị giác và âm
nhạc tới tâm lý học và các lĩnh vực khoa học tự nhiên, nên sẽ không
có gì là quá đáng, nếu nói rằng ngôn ngữ này là rất quan trọng.
Danh sách những người có đóng góp trực tiếp hoặc gián tiếp cho
quyển sách này có lẽ phải chép chật kín vài trang giấy. Ở đây tôi sẽ
chỉ nhắc tới những người mà không có sự giúp đỡ của họ tôi khó
có thể hoàn thành bản thảo đúng thời hạn được. Tôi xin cám ơn
Freeman Dyson, Ronen Plesser, Nathan Seiberg, Steven Weinberg, và
Ed Witten vì những cuộc trò chuyện về vai trò của đối xứng trong
vật lý. Tôi cũng xin cám ơn Ngài Michael Atiyah, Peter Neumann,
Joseph Rotman, Ron Salomon và đặc biệt là Hillel Gauchman đã có
những nhận xét sâu sắc và quan trọng về toán học nói chung và về
lý thuyết của Galois nói riêng. Tôi xin cám ơn John O'Connor và
| 5

Edmund Robertson đã giúp tôi về lịch sử toán học; Simon Conway
Morris và David Perrett đã chỉ cho tôi hướng đi đúng trong những
chủ đề có liên quan đến tiến hóa và tâm lý học tiến hóa. Tôi đã có
những cuộc thảo luận rất hiệu quả với Ellen Winner về chủ đề tính
sáng tạo. Philippe Chaplain, Jean-Paul Auffray và Norbert Verdier đã
cung cấp cho tôi những tư liệu và thông tin rất có giá trị về Galois.
Victor Liviot đã giúp tôi hiểu được biên bản khám nghiệm tử thi
Galois. Stefano Corazza, Carla Cacciari và Letizia Stanghellini đã
cung cấp cho tôi những thông tin hữu ích về các nhà toán học ở
Bologna. Ermanno Bianconi cũng đã có nhiều giúp đỡ liên quan tới
các nhà toán học ở San Sepolcro. Laura Garbolino, Livia Giacardi
và Franco Pastrone đã cung cấp cho tôi nhiều tư liệu quý giá về lịch
sử toán học. Patrizia Moscatelli và Biancastella Antonio đã cung cấp
cho tôi nhiều tài liệu quan trọng từ thư viện của Đại học Bologna.
Arild Stubhaug cũng như Yngvar Reichelt đã giúp tôi hiểu được
một số khía cạnh trong cuộc đời của Niels Abel và cung cấp cho
tôi nhiều tài liệu.
Tôi vô cùng biết ơn Patrick Gordon cùng Victor và Bernadette
Laviot đã dịch giúp những tài liệu từ tiếng Pháp cũng như Tommy
Wiklind và Theresa Wiegert đã dịch giúp các tài liệu từ tiếng Na
Uy, Stefano Casertano, Nino Panagia và Massimo Stavelli đã giúp
dịch các tài liệu từ tiếng Ý và tiếng Latinh. Elisabeth Fraser và Sarah
Stevens Rayburn đã có sự giúp đỡ vô giá về tư liệu và ngôn ngữ. Bản
thảo này sẽ không thể đưa in nếu không có sự chuẩn bị rất chuyên
nghiệp của Sharon Toolan và những hình vẽ của Krista Wildt.
Sự tìm tòi và viết lách gắn với một quyển sách tầm cỡ như thế
này không khỏi đặt một gánh nặng lên gia đình chúng tôi. Không
có sự hỗ trợ liên tục và sự kiên nhẫn vô hạn của vợ tôi, Sofie, và các
6 | MARIO LIVIO

con tôi, Sharon, Oren và Maya, thì tôi thậm chí không dám mơ tới
việc hoàn thành cuốn sách này. Tôi hy vọng rằng mẹ tôi, Dorothy
Livio, người dành trọn cuộc đời đã và vẫn còn đang gắn bó với âm
nhạc, sẽ thích thú đọc quyển sách về đối xứng này.
Cuối cùng, tôi chân thành biết ơn người đại diện của tôi, Susan
Rabiner, vì sự làm việc miệt mài và động viên tuyệt vời, cũng như
biên tập viên Bob Bender của tôi ở NXB Simon & Schuster về sự
chuyên nghiệp và ủng hộ không mệt mỏi của ông và tôi cũng xin
cám ơn Johanna Li, Loretta Denner, Victoria Meyer và toàn bộ ekip
làm việc ở NXB Simon & Schuster về sự giúp đỡ sản xuất và quảng
bá quyển sách này.

| 7

I
Đối xứng

M

ột vết mực trên một mẩu giấy chẳng có gì đặc biệt bắt mắt
cả, nhưng nếu bạn gấp đôi tờ giấy lại khi vết mực chưa
kịp khô thì bạn sẽ nhận được một cái gì đó nhìn giống như hình
1 và rõ ràng là hấp dẫn hơn nhiều. Thực tế, việc giải thích những
vết mực tương tự đã tạo cơ sở cho phép thử Rorschach do nhà
tâm thần học người Thụy Sĩ, Hermann Rorschach, phát triển trong
những năm 1920. Mục đích phép thử này được tuyên bố là để bằng
cách nào đó làm sáng tỏ những nỗi sợ hãi ẩn giấu, những tưởng
tượng điên dại và những tư tưởng
sâu xa hơn của những người nhìn
lý giải những hình dáng mơ hồ. Giá
trị thực sự của phép thử này với
tư cách là “tia X quang đối với trí
óc” đã được tranh cãi gay gắt trong
giới tâm lý học. Như nhà tâm lý
học Scott Lilienfeld thuộc Đại học
Emory đã từng nói: “Trí óc của ai,
Hình 1
8 |

của bệnh nhân hay của người kiểm tra?”. Tuy nhiên, không ai phủ
nhận thực tế là những hình ảnh như trên hình 1 đã chuyển tải một
loại ấn tượng hấp dẫn và thu hút nào đó. Tại sao?
Phải chăng đó là do cơ thể con người, đa số động vật và rất nhiều
tạo tác của con người đều có đối xứng hai phía như thế? Nhưng tại
sao tất cả những đặc điểm động vật học đó và tất cả những sáng
tạo của trí tưởng tượng con người trước hết lại bộc lộ một đối xứng
như vậy?
Đa số chúng ta cảm nhận những bố cục hài hòa như bức tranh
Sự ra đời của thần Vệ nữ của Botticelli (hình 2) như là một cái gì
đó đối xứng. Nhà lịch sử nghệ thuật Ernst H. Gombrich thậm chí
còn nhận xét rằng “cách hành xử khoáng đạt của Botticelli đối với
tự nhiên nhằm đạt được những đường nét duyên dáng đã làm tăng
thêm vẻ đẹp và sự hài hòa của bức tranh”. Nhưng các nhà toán học
sẽ nói với bạn rằng những bố trí màu sắc và hình dạng trong bức
tranh đó là không đối xứng một chút nào theo nghĩa toán học. Trái
lại, những người xem không phải là nhà toán học lại không cảm
nhận hình 3 như là một cái gì đó đối xứng, thậm chí mặc dù nó
thực sự là đối xứng theo định nghĩa hình thức của toán học. Vậy
đối xứng thực sự là cái gì? Nó đóng vai trò gì (nếu có) trong sự cảm
nhận của con người? Nó có liên quan như thế nào với cảm giác
thẩm mỹ của chúng ta? Trong thế giới khoa học, tại sao đối xứng
lại trở thành một khái niệm then chốt trong những ý tưởng của
chúng ta về vũ trụ xung quanh và trong những lý thuyết cơ bản mưu
toan giải thích vũ trụ đó? Vì đối xứng trải rộng trong nhiều lĩnh
vực, vậy chúng ta sẽ phải dùng “ngôn ngữ” gì và “ngữ pháp” nào để
mô tả và đặc trưng cho các đối xứng cùng các thuộc tính của chúng
và cái ngôn ngữ phổ quát ấy đã được phát minh ra như thế nào?
Ngôn ngữ của đối xứng

| 9

Nói một cách nhẹ nhàng hơn thì đối xứng làm thế nào có thể mang
lại cho ta câu trả lời đối với câu hỏi hết sức quan trọng được đặt ra
trong nhan đề của một trong những bài hát của ngôi sao nhạc rock
Rod Stewart – “Anh có nghĩ em là gợi cảm không?”

Hình 2

Tôi sẽ cố gắng cung cấp ít nhất là một phần những câu trả lời
cho tất cả những câu hỏi đó và còn nhiều hơn thế nữa. Đồng thời,
tôi hy vọng rằng toàn bộ câu chuyện này sẽ khắc họa cả khía cạnh
nhân văn của toán học, và thậm chí còn quan trọng hơn, là khía
cạnh con người của các nhà toán học. Như chúng ta sẽ thấy, đối
xứng là một công cụ chủ yếu để bắc cầu qua cái hố ngăn cách giữa
khoa học và nghệ thuật, giữa tâm lý học và toán học. Đối xứng
xuyên suốt các vật và các khái niệm từ những tấm thảm Ba Tư tới
những phân tử của sự sống, từ nhà thờ Sistine tới “Lý thuyết của
vạn vật” (Theory of Everything – TOE) đang được săn tìm. Nhưng lý
thuyết nhóm, ngôn ngữ toán học mô tả bản chất của các đối xứng
và khám phá những tính chất của chúng, lại hoàn toàn không xuất
hiện từ những nghiên cứu về đối xứng. Thay vì thế, ý tưởng thống
10 | M A R I O L I V I O

nhất đáng kinh ngạc này của tư tưởng
hiện đại lại thăng hoa từ một nguồn bất
ngờ nhất, đó là một phương trình không
thể giải được. Lịch sử đầy bi kịch và quanh
co của phương trình này là phần căn bản
của câu chuyện truyền kỳ trí tuệ được đề
cập đến trong cuốn sách bạn đang cầm
trong tay. Đồng thời, câu chuyện này sẽ
soi sáng nỗi cô đơn của một thiên tài và
sự ngoan cường của trí tuệ con người
khi đối mặt với những thách thức tưởng
Hình 3
chừng như không thể vượt qua. Tôi đã hết
sức nỗ lực để thử giải đáp một bí ẩn kéo dài hai thế kỷ về cái chết
của nhân vật chính trong câu chuyện này, đó là nhà toán học xuất
sắc Évariste Galois. Tôi tin rằng tôi đã tiến gần tới sự thật hơn bất
kỳ ai có thể trước đó.
Nhà viết kịch sắc sảo George Bernard Shaw đã từng nói: “Một con
người biết điều là người bắt mình phải thích nghi với thế giới, còn
người không biết điều là người cứ khăng khăng bắt thế giới phải
phù hợp với mình. Do đó, mọi tiến bộ của nhân loại lại phụ thuộc
vào con người không biết điều ấy”. Trong cuốn sách này chúng ta
sẽ gặp nhiều con người không biết điều như thế. Quá trình sáng
tạo, do chính bản chất của nó, luôn tìm kiếm những mảnh đất trí
tuệ và cảm xúc còn chưa được khai phá. Sự đột nhập chớp nhoáng
vào sự trừu xuất toán học sẽ cho ta ghé nhìn trộm vào chính bản
chất của sự sáng tạo.
Trước hết, chúng ta hãy khám phá sơ qua thế giới kỳ diệu của
đối xứng.

Ngôn ngữ của đối xứng

| 11

“MIỄN TRỪ” THAY ĐỔI
Từ đối xứng (symmetry) có nguồn gốc từ xa xưa, xuất phát từ các
từ sym và metria trong tiếng Hy Lạp, có nghĩa là “có cùng độ đo”.
Khi người Hy Lạp gắn cho một tác phẩm nghệ thuật hay một thiết
kế kiến trúc cái nhãn đối xứng là khi họ muốn nói rằng người ta có
thể nhận dạng được một mẩu nhỏ nào đó của tác phẩm nghệ thuật
ấy, sao cho kích thước của tất cả các phần khác đều chứa mẩu đó
với một số lần rất chính xác (các phần này được gọi là “thông ước”
với nhau). Định nghĩa từ rất sớm này có lẽ tương ứng với khái niệm
hiện đại của chúng ta về sự tỷ lệ hay cân đối hơn là với đối xứng.
Tuy nhiên, hai triết gia vĩ đại Plato (428/427 – 348/347 trước CN)
và Aristotle (384 – 322 trước CN) đã nhanh chóng gắn đối xứng với
cái đẹp. Theo lời của Aristotle, “Các dạng chủ yếu của cái đẹp là sự
bố cục có trật tự (tiếng Hy Lạp là taxis), cân đối (symmetria) và xác
định (horismenon), những thứ này được phát lộ đặc biệt bởi toán
học”. Theo bước chân những người Hy lạp, sự đồng nhất đối xứng với
“sự cân đối thỏa đáng” sau này đã được kiến trúc sư La Mã có ảnh
hưởng là Vitruvius (khoảng 70 – 25 trước CN) truyền bá và nó còn
duy trì qua suốt cả thời kỳ Phục Hưng. Trong cuốn De Architectura
Libri Decem (Mười quyển sách về kiến trúc) của ông, được coi là kinh
thánh của kiến trúc ở châu Âu trong nhiều thế kỷ, Vitruvius đã viết:
Bản thiết kế của một ngôi đền phụ thuộc vào đối xứng, mà
người kiến trúc sư phải tuân theo một cách cẩn trọng những
nguyên tắc chủ yếu của nó. Mà chúng chính là do sự cân đối.
Cân đối là sự tương xứng giữa các số đo của các thành phần
thuộc toàn bộ công trình và của tổng thể công trình đối với
một bộ phận nào đó được chọn làm chuẩn. Các nguyên lý
của đối xứng từ đó mà ra”.
12 | M A R I O L I V I O

Ý nghĩa hiện đại của đối xứng (lần đầu tiên được đưa ra vào cuối
thế kỷ 18) theo nghĩa toán học chính xác thực sự là “sự miễn trừ đối
với một thay đổi khả dĩ nào đó”. Hay như nhà toán học Hermann
Weyl (1885-1955) từng nói: “Một vật là đối xứng nếu có một phép
gì đó mà bạn có thể làm với nó sao cho sau khi kết thúc, vật nhìn
vẫn giống hệt như trước”. Để làm ví dụ, hãy xét mấy câu thơ sau:
Is it odd how asymmetrical
Is “symmetry”?
“Symmetry” is asymmetrical
How odd it is.
Khổ thơ này không đổi nếu bạn đọc từng từ một từ cuối lên
đầu, tức nó là đối xứng đối với phép đọc giật lùi. Nếu bạn xét các
từ được sắp xếp giống như các hạt xếp lồng qua một sợi dây, bạn
có thể xem sự đọc ngược này như là một loại phản xạ qua gương
(không thật chính xác với từng chữ cái) của khổ thơ trên. Khổ thơ
này là không thay đổi khi được phản xạ qua gương theo nghĩa trên,
tức nó là đối xứng đối với phép phản xạ qua gương như vậy. Một
cách khác, nếu bạn thích nghĩ thông qua sự đọc to khổ thơ ấy lên
hơn, thì cách đọc ngược sẽ tương ứng với sự nghịch đảo thời gian,
nó đại khái tương tự như cho cuộn băng video quay ngược lại (lại
một lần nữa, điều này không thật chính xác tới từng âm vì những
âm riêng rẽ không thể đảo ngược được). Các câu có tính chất đó
được gọi là thuận nghịch độc.
Sự phát minh ra các câu thuận nghịch độc được cho là thuộc
Sotades xứ Maronea, người sống vào thế kỷ 3 trước CN ở Ai Cập
do người Hy Lạp thống trị. Các câu thuận nghịch độc đã cực kỳ phổ
biến với những kiểu chơi chữ kỳ tài như người Anh J.A. Lindon và
Ngôn ngữ của đối xứng

| 13

với những trò giải trí toán học tuyệt vời của tác giả Martin Gardner.
Một trong những câu thuận nghịch đọc vui của Lindon với đơn vị
là từ (chứ không phải chữ cái!) là: “Girl, bathing on Bikini, eyeing
boy, finds boy eyeing bikini on bathing girl”. Một câu thuận nghịch
đọc khác đối xứng với phép đọc trước-sau từng chữ cái một (chứ
không phải là từ nữa!) là: “Able was I ere I saw Elba” (được đồn vui
là của Napoleon) hoặc cái tên của chương trình NOVA nổi tiếng:
“A man, a Plan, a Canal, Panama.”
Điều lạ là, các câu thuận nghịch độc xuất hiện không chỉ trong
các trò chơi chữ lắt léo mà cả trong cấu trúc của nhiễm sắc thể
Y quyết định giới tính nam. Việc xác định chuỗi đầy đủ các gen
trong nhiễm sắc thể Y chỉ mới hoàn tất vào năm 2003. Đó là thành
tựu đỉnh cao của một nỗ lực phi thường, và nó cho thấy rằng sức
mạnh bảo tồn nhiễm sắc thể giới tính này đã bị đánh giá quá thấp.
Những cặp nhiễm sắc thể khác của con người đã chiến đấu chống
lại những đột biến phá hoại bằng cách tráo đổi các gen. Vì nhiễm
sắc thể Y thiếu bạn kết cặp, nên các nhà sinh học về gen trước kia
đã ước tính rằng hành trang di truyền của nó đã teo dần lại có lẽ
ít ra cũng trong 5 triệu năm. Tuy nhiên, các nhà nghiên cứu thuộc
nhóm xác định trình tự gen đã vô cùng ngạc nhiên phát hiện ra
rằng nhiễm sắc thể này (Y) đã chống lại sự thoái hóa đó bằng chiêu
thuận nghịch độc. Khoảng 6 triệu trong số 50 triệu các chữ cái AND
của nó đã tạo nên các chuỗi thuận nghịch độc, tức là các chuỗi mà
đọc lui đọc tới đều như nhau trên hai nhánh của chuỗi xoắn kép.
Những sao chép này không những cung cấp một sự hỗ trợ trong
trường hợp có những đột biến xấu, mà còn cho phép nhiễm sắc thể
này, trong một phạm vi nhất định, tự giao phối với mình, trong đó
các đoạn hoán đổi vị trí và các gen tráo đổi cho nhau. Như David
14 | M A R I O L I V I O

Page – lãnh đạo nhóm nghiên cứu – đã nói: “Cứ như nhiễm sắc thể
Y là một nhà gương vậy”.
Tất nhiên, ví dụ quen thuộc nhất của đối xứng phản xạ qua gương
là đối xứng hai bên đặc trưng cho vương quốc các động vật. Từ các
con bướm đến những con cá voi, từ chim cho tới con người, nếu
như bạn cho nửa bên trái phản xạ qua gương bạn sẽ nhận được cái
gần như đồng nhất với nửa bên phải. Tạm thời ta hãy bỏ qua những
khác biệt nhỏ bên ngoài – dù sao cũng vẫn có – và sự thật là cả các
cơ quan nội tạng lẫn những chức năng của não bộ đều không có
tính đối xứng hai bên.
Đối với nhiều người, từ đối xứng được mặc nhiên công nhận có
ý nghĩa là đối xứng hai bên. Ngay cả trong cuốn Từ điển Quốc tế
Webster – Webster's Third New International Dictionary, một trong
những định nghĩa của từ này là: “Sự tương ứng về kích thước, hình
dạng và vị trí tương đối của các bộ phận nằm ở hai phía đối diện
của đường phân cách hoặc của mặt phẳng trung trực”. Sự mô tả
toán học chính xác của đối xứng phản xạ gương cũng dùng chính
những quan niệm đó. Hãy lấy hình vẽ một con bướm và vạch một
đường thẳng ở chính giữa hình. Nếu gấp hình vẽ lại dọc theo đường
thẳng đó thì hai nửa hình vẽ sẽ chồng khít lên nhau. Con bướm vẫn
còn không thay đổi – tức bất biến – qua phép phản xạ qua đường
thẳng trung tâm.
Đối xứng hai bên thể hiện nổi bật trong thế giới động vật và
khó có thể cho đó chỉ là ngẫu nhiên được. Thực tế, nếu bạn coi
động vật là những tập hợp cực lớn của hàng ngàn tỷ ngàn tỷ phân
tử thì số các cách để xây dựng các cấu hình bất đối xứng sẽ cực kỳ
nhiều hơn các cấu hình đối xứng. Các mảnh của cái bình vỡ có thể
xếp theo nhiều cách khác nhau nhưng sẽ chỉ có một cách xếp duy
Ngôn ngữ của đối xứng

| 15

nhất để cho các mảnh ăn khớp với nhau và tạo lại chiếc bình như
nguyên vẹn (và thường có đối xứng hai bên). Những tư liệu hóa
thạch ở Ediacara, Australia lại cho thấy rằng các sinh vật thân mềm
(Spriggina) gốc từ kỷ Vendian (650 tới 543 triệu năm trước) cũng
đã có đối xứng hai bên.
Vì các dạng sự sống trên Trái Đất được hình thành bởi hàng thiên
niên kỷ tiến hóa và chọn lọc tự nhiên, những quá trình này chắc bằng
cách nào đó lại ưng đối xứng hai bên hay đối xứng gương hơn. Trong
số tất cả những cái vỏ bên ngoài khác nhau mà động vật có thể chấp
nhận, thì cái vỏ đối xứng gương có ưu thế hơn. Không thể không
kết luận rằng đối xứng này là kết cục thích hợp của sự tăng trưởng
sinh học. Nhưng liệu chúng ta có thể hiểu được nguyên nhân của sự
thiên vị đặc biệt đó không? Chí ít chúng ta có thể tìm được một số
cội nguồn có tính chất kỹ thuật trong các định luật của cơ học. Một
điểm then chốt ở đây là thực tế rằng tất cả các hướng trên bề mặt
Trái Đất được tạo ra không phải bình đẳng với nhau. Lực hấp dẫn
của Trái Đất đã tạo ra một sự khác biệt rõ ràng giữa trên và dưới (hay
nói theo ngôn ngữ sinh học là giữa lưng và bụng của các động vật).
Trong phần lớn các trường hợp thì cái gì đi lên sẽ phải rơi xuống,
nhưng không có chuyện ngược lại. Một sự phân biệt nữa, giữa trước
và sau, là kết quả của sự di chuyển của động vật.
Bất cứ động vật nào di chuyển tương đối nhanh, dù là ở trong
biển, trên đất liền hay trong không khí, cũng sẽ có ưu thế rõ ràng
nếu nó có phần phía trước khác với phần phía sau. Khi đã có tất cả
các giác quan, thì các cơ quan thu và phát hiện ánh sáng, âm thanh,
mùi và vị ở phía trước rõ ràng sẽ giúp cho động vật quyết định sẽ
đi đâu và làm cách nào đi tới đó tốt nhất. Một “radar” ở phía trước
cũng sẽ cung cấp những cảnh báo sớm về những hiểm họa tiềm
16 | M A R I O L I V I O

tàng. Việc có miệng ở phía trước có thể làm nên sự khác biệt giữa
việc có đoạt được thức ăn trước hay là không. Đồng thời, cơ học
thực sự của chuyển động (đặc biệt là ở trên đất liền và trên không)
dưới ảnh hưởng của lực hấp dẫn đã phát sinh ra sự khác biệt rõ ràng
giữa đáy và đỉnh. Một khi sự sống xuất hiện từ biển lên đất liền,
thì một loại dụng cụ cơ học – các chi – cần phải được phát triển để
mang cơ thể động vật di chuyển. Những dụng cụ đó không cần thiết
phải có ở trên đỉnh, nên sự khác biệt giữa đỉnh và đáy trở nên nổi
bật hơn. Khí động học của sự bay (cũng vẫn dưới tác dụng của lực
hấp dẫn) gắn kết với những đòi hỏi phải có một “bộ phụ tùng” để
hạ cánh cộng với một số phương tiện để di chuyển trên mặt đất kết
hợp lại đã dẫn đến những khác biệt đáy-đỉnh trong các loài chim.
Tuy nhiên, đến đây đã xuất hiện một nhận thức quan trọng:
Không có một cái gì đó nổi bật trong biển, trên mặt đất hay trên
không để phân biệt giữa trái và phải cả. Con chim ưng bay trên cao
nhìn sang bên phải cũng thấy một môi trường y hệt như khi nhìn
sang trái. Nhưng điều đó không đúng đối với trên và dưới – trên là
nơi con chim ưng có thể còn bay được cao hơn nữa trong khi dưới
là nơi nó hạ cánh và làm tổ. Tạm gạt bỏ trò chơi chữ chính trị (tả
khuynh và hữu khuynh) sang một bên, còn thì thực sự không có
sự khác biệt lớn nào giữa trái và phải ngay cả trên mặt đất, vì ở đây
không có một lực mạnh theo phương ngang nào. Thực ra, sự quay
của Trái Đất xung quanh trục của nó và từ trường của Trái Đất
(thực tế là Trái Đất tác động lên môi trường xung quanh nó như
một thanh nam châm) cũng đã dẫn đến một sự bất đối xứng nhất
định. Tuy nhiên, ở mức vĩ mô, những hiệu ứng này hầu như không
quan trọng như là các hiệu ứng của lực hấp dẫn và sự chuyển động
nhanh của động vật.
Ngôn ngữ của đối xứng

| 17

Sự mô tả cho tới đây nhằm giải thích tại sao sự đối xứng hai bên
của các cơ thể sống lại có ý nghĩa về mặt cơ học. Đối xứng hai bên
cũng là tiết kiệm: bạn có được hai cơ quan với giá chỉ của một thôi.
Nhưng đối xứng đó hoặc sự không có nó đã xuất hiện như thế nào
từ sinh học tiến hóa (các gen) hoặc thậm chí cơ bản hơn từ các
định luật vật lý là một câu hỏi khó khăn hơn và tôi sẽ quay trở lại
phần nào trong các Chương 7 và 8. Ở đây cho phép tôi chỉ xin nêu
nhận xét rằng bào thai ở giai đoạn sớm của nhiều động vật đa bào
hoàn toàn không có đối xứng hai bên. Động lực nằm sau sự biến
đổi của “bản thiết kế gốc” này khi bào thai lớn lên có thể thực sự
là tính di động.
Không phải toàn bộ thế giới sinh học đều sống trong cơ động. Các
dạng của sự sống cố định ở một chỗ và không có khả năng tự ý di
chuyển, như cây cỏ và các động vật không di chuyển, đều có phần
đỉnh và phần đáy rất khác nhau, nhưng không thể phân biệt trước
và sau hoặc phải và trái. Chúng có đối xứng tương tự đối xứng của
hình nón – tức là những phản xạ đối xứng qua một gương bất kỳ
đi qua trục thẳng đứng trung tâm của nó. Một số động vật chuyển
động rất chậm như con sứa cũng có đối xứng tương tự.
Rõ ràng một khi đối xứng hai bên đã phát triển trong các cơ thể
sống thì phải có đủ lý do để nó được giữ gìn nguyên vẹn. Bất cứ sự
mất đi một tai hay một mắt đều có thể làm cho động vật trở nên
dễ bị tổn thương đối với thú săn mồi, chúng có thể lẻn đến gần mà
không hay biết.
Người ta có thể băn khoăn tự hỏi không hiểu cấu hình chuẩn cụ
thể mà tự nhiên ban cho con người liệu có phải là cấu hình tối ưu
hay chưa. Ví dụ, thần Janus của người La Mã là vị thần gác cổng và
vị thần của mọi sự bắt đầu, kể cả tháng đầu tiên (January) của năm.
18 | M A R I O L I V I O

Vì thế trong nghệ thuật, Janus thường được vẽ có hai mặt, một ở
phía trước nhìn về tương lai (tượng trưng cho sự hướng tới năm
sau) và một ở phía sau đầu (hướng về năm đã qua). Sự sắp đặt như
thế ở con người, trong khi có lợi cho một số mục đích nào đó, lại
không dành chỗ cho những bộ phận của não vốn chịu trách nhiệm
cho các hệ thống không cảm giác. Trong cuốn sách tuyệt vời The
New Ambidextrous Universe (Vũ trụ mới thuận cả hai tay), Martin
Gardner có kể câu chuyện về một người diễn trò ở Chicago, người
thường hay bàn luận về những ưu thế của việc có các giác quan
nằm ở những chỗ không bình thường trên cơ thể. Chẳng hạn, tai
ở dưới nách sẽ được giữ ấm hơn trong những mùa đông lạnh giá
ở Chicago. Nhưng rõ ràng sẽ có những bất cập khác gắn liền với
một cấu hình như vậy. Tai ở trong nách thì thính giác sẽ suy giảm
nghiêm trọng nếu như bạn không giơ tay lên suốt ngày.
Các bộ phim khoa học viễn tưởng cũng thường dựng lên những
người ngoài hành tinh có đối xứng hai bên. Nếu thực sự tồn tại
những sinh vật có trí tuệ ngoài hành tinh đã trải qua quá trình
tiến hóa sinh học thì liệu họ có thể có đối xứng phản xạ gương hay
không? Hoàn toàn có thể. Do tính phổ quát của các định luật vật
lý, đặc biệt là các định luật về hấp dẫn và chuyển động, các dạng
sự sống trên các hành tinh ở ngoài hệ mặt trời sẽ phải đối mặt với
những thách thức của môi trường giống hệt như trên Trái Đất. Lực
hấp dẫn vẫn giữ mọi vật trên bề mặt của hành tinh và tạo ra sự khác
biệt quan trọng giữa trên và dưới. Sự chuyển động cũng tương tự
sẽ tách phần trước khỏi phần sau. Người ngoài hành tinh khi đó
phần lớn là (hoặc đã là) thuận cả hai tay. Tuy nhiên, điều đó không
có nghĩa là một đoàn đại biểu của những người ngoài hành tinh
tới thăm sẽ nhìn giống hệt như chúng ta. Bất cứ một nền văn minh
Ngôn ngữ của đối xứng

| 19

nào đủ phát triển để dấn thân vào công cuộc du hành giữa các vì
sao đều đã phải trải qua giai đoạn dài của sự xuất hiện loài có trí
tuệ với những sinh vật dựa trên công nghệ - máy tính siêu đẳng.
Và cái trí tuệ siêu việt dựa trên máy tính này rất nhiều khả năng sẽ
là vi mô về kích thước.
Một số chữ cái trong bảng chữ cái viết in hoa thuộc số rất nhiều
thứ do con người tạo ra là đối xứng đối với phép phản xạ gương.
Nếu chúng ta giữ một tờ giấy có viết các chữ cái A, H, I, M, O, T,
U, V, W, X, Y đặt cạnh gương, thì ảnh trong gương của chúng cũng
giống hệt như vậy. Các từ (hoặc thậm chí cả những cụm từ) được
cấu tạo từ những chữ cái đó và in thẳng đứng như mệnh lệnh tầm
phào này:
Y
O
U
M
A
Y
W
A
X
I
T
20 | M A R I O L I V I O

T
I
M
O
T
H
Y
cũng đều không thay đổi khi được phản xạ gương. Nhóm nhạc
pop Thụy Điển A BA, mà âm nhạc của họ đã tạo ra cảm hứng cho
bản nhạc thành công Mamma Mia, đã khôn khéo đặt tên cho bài hát
sao cho khi đánh vần nghe cũng có tính đối xứng gương (MAMMA
MIA – nếu viết thẳng đứng cũng có tính đối xứng gương). Một số ít
chữ cái, như B, C, D, E, H, I, K, O, X là đối xứng đối với phép phản
xạ qua mặt gương nằm ngang cắt đôi các chữ cái đó. Các từ tạo bởi
các chữ cái này, như COOKBOOK, BOX, CODEX, hay những ký
hiệu quen thuộc biểu thị cho ôm hôn như XOXO cũng sẽ không
thay đổi khi được giữ lộn ngược trước gương.
Không thể nói hết tầm quan trọng của đối xứng phản xạ gương
đối với sự cảm nhận cũng như sự đánh giá thẩm mỹ của chúng ta
đối với các lý thuyết toán học về đối xứng, đối với các định luật vật
lý và đối với khoa học nói chung, và tôi sẽ còn quay trở lại vấn đề
này vài lần nữa. Tuy nhiên, cũng còn tồn tại cả những đối xứng khác
và chúng cũng quan yếu không kém.

Ngôn ngữ của đối xứng

| 21

cấu TRÚc ĐỎNG ĐẢNH cỦA TuYẾT
Nhan đề của mục này được lấy từ cuốn Bão tuyết (The Snowstorm)
của nhà thơ Mỹ Ralph Waldo Emerson (1803-1882). Nó diễn tả được
sự ngạc nhiên bối rối mà người ta cảm thấy khi nhận ra những hình
dáng ngoạn mục của các bông tuyết (hình 4). Trong khi câu cửa
miệng “không có hai bông tuyết nào giống nhau” là thực sự không
đúng ở mức mắt trần, thì những bông tuyết hình thành trong các
môi trường khác nhau đúng là có khác nhau thật. Nhà thiên văn
nổi tiếng Johannes Kepler (1571-1630),
người đã phát minh ra các định luật về
chuyển động của các hành tinh, cũng
đã ấn tượng với sự tuyệt vời của các
bông tuyết đến nỗi ông đã viết cả một
tiểu luận nhan đề Bông tuyết sáu góc
(The Six-Cornered Snowflake), với ý
định giải thích đối xứng của các bông
Hình 4
tuyết.
Ngoài đối xứng phản xạ gương ra, các bông tuyết còn có đối xứng
quay: bạn có thể quay chúng theo những góc nhất định xung quanh
một trục vuông góc với mặt phẳng của chúng (và đi qua tâm) thì
chúng nhìn vẫn như cũ. Do những tính chất và hình dạng của các
phân tử nước, các bông tuyết thường có 6 góc (hầu như) giống hệt
nhau. Do đó, góc quay nhỏ nhất (trừ trường hợp không quay gì cả)
làm cho hình dạng của bông tuyết không thay đổi là góc quay trong
đó mỗi đỉnh dịch chuyển được một “bước”: 360: 6 = 60 độ. Những
góc quay khác cũng làm cho hình cuối cùng không phân biệt được
so với hình gốc đơn giản là bội số của góc quay nhỏ nhất trên, đó là
22 | M A R I O L I V I O

các góc 120, 180, 240, 300 và 360 độ (góc quay cuối cùng đưa bông
tuyết trở lại vị trí ban đầu, tức nó tương đương với không quay gì
cả). Vậy bông tuyết có đối xứng quay bậc 6. Để so sánh, ta thấy con
sao biển có đối xứng quay bậc 5; chúng có thể được quay với các
góc 72, 144, 216, 288 và 360 độ mà không cho thấy sự khác biệt nào.
Nhiều bông hoa, như hoa cúc vàng, hoa cúc trắng của Anh và hoa
hạt rệp đều có đối xứng quay gần đúng. Về căn bản, chúng nhìn là
như nhau khi quay một góc nào đó (hình 5). Đối xứng, khi kết hợp
với sự phong phú về màu sắc và mùi hương quyến rũ, là một tính
chất ẩn tàng làm cho các bông hoa có được sự hấp dẫn phổ quát về
mặt thẩm mỹ. Có lẽ không ai có thể diễn đạt tốt hơn họa sĩ James
McNeill Whistler (1834-1903) về mối quan hệ gắn bó giữa các bông
hoa và các tác phẩm nghệ thuật:
Một tuyệt phẩm giống như bông hoa đối với người họa sĩ –
chúm chím cũng xinh mà nở bung cũng tuyệt – không cần
giải thích, cũng chẳng cần vẽ lại – là niềm vui đối với người
nghệ sĩ – là ảo tưởng đối với người có lòng bác ái – là câu
đố đối với nhà thực vật học – là sự đụng chạm tình cờ giữa
tâm hồn và vần thơ đối với văn nhân.

Vậy thì cái gì trong một hình
mẫu đối xứng đã gây ra phản ứng
xúc cảm đó? Và liệu có phải những
tác phẩm nghệ thuật thực sự gây ra
cùng một cảm xúc như vậy không?
Chú ý rằng ngay cả khi câu trả lời
cho câu hỏi thứ hai ở trên là một
tiếng “có” phân minh, thì điều đó
cũng không nhất thiết đưa chúng

Hình 5

Ngôn ngữ của đối xứng

| 23

ta tới gần hơn câu trả lời cho câu hỏi thứ nhất. Câu trả lời cho câu
hỏi: Cái gì trong các tác phẩm nghệ thuật đã gây ra những đáp ứng
cảm xúc? còn xa mới trở nên rõ ràng. Thực tế, các tuyệt phẩm khác
nhau như Thiếu nữ đeo hoa tai ngọc trai của Jan Vermeer, Guernica
của Pablo Picasso, và Marilyn Diptych của Andy Warhol có phẩm
chất chung gì? Clive Bell (1881-1964), một nhà phê bình nghệ thuật
và thành viên của nhóm Bloomsbury (nhân tiện nói thêm nhóm
này gồm có cả nhà văn Virginia Woolf) đã cho rằng phẩm chất
chung của tất cả các tác phẩm nghệ thuật chân chính là cái mà ông
gọi là “hình thái có ý nghĩa”. Với thuật ngữ đó, ông muốn nói về sự
kết hợp cụ thể của các đường nét, màu sắc, các hình và mối quan
hệ giữa các hình đã khuấy lên xúc cảm nào đó. Điều đó không nói
lên rằng tất cả các tác phẩm nghệ thuật đều gây ra cùng một cảm
xúc. Mà hoàn toàn ngược lại: mỗi tác phẩm nghệ thuật có thể gây
ra một cảm xúc hoàn toàn khác nhau. Cái chung nằm ở thực tế là:
tất cả các tác phẩm nghệ thuật đều gây ra một cảm xúc nào đó. Nếu
chúng ta chấp nhận giả thuyết thẩm mỹ ấy thì đối xứng có thể đơn
giản là biểu diễn một trong những thành phần của cái hình thái có ý
nghĩa (được định nghĩa khá mơ hồ) đó. Trong trường hợp này, phản
ứng của chúng ta đối với các hình mẫu đối xứng có thể là không
quá khác biệt (thậm chí còn yếu hơn) với độ nhạy cảm thẩm mỹ
rộng lớn hơn của chúng ta. Không phải mọi người đều nhất trí với
khẳng định đó. Nhà lý thuyết mỹ học Harold Osborne đã nói về đáp
ứng của con người đối với đối xứng của các yếu tố hoặc của các vật
riêng rẽ, như các bông tuyết, như sau: “Chúng có thể làm trỗi dậy
sự quan tâm, óc tò mò và sự tán thưởng. Nh...